Bildfilter

Operatoren, die jeden Bildpunkt aus seiner Nachbarschaft neu berechnen. Lineare Filter sind Faltungen mit einer Maske (Tiefpass glättet, Hochpass schärft oder findet Kanten). Nichtlineare und morphologische Filter arbeiten mit Rangordnung und Form.

Faltung

Filter sind mathematisch Faltungen, technisch werden sie mit Maskenoperatoren umgesetzt. Die Maske wird Pixel für Pixel über das Bild geschoben. Jeder Maskenwert wird mit dem darunterliegenden Pixel multipliziert, und die Summe ergibt den neuen Wert des Mittelpunkts. Dasselbe Ergebnis erhält man durch Multiplikation im Frequenzraum (Faltungstheorem) → Fourier-Transformation (Quelle - Bildverarbeitung Zusammenfassung).

• Lokal / homogen: Der neue Wert hängt von der Nachbarschaft ab, aber nicht von der Position. Die Bildränder brauchen Sonderbehandlung.
• Linear: Das Ergebnis ist eine lineare Funktion der Nachbarn. Meist gibt es keine Inverse, ein geglättetes Bild ist also nicht umkehrbar.

Tiefpass (Glättung)

Glättung schwächt hohe Frequenzen: Rauschen und Details nehmen ab, Kanten verwischen.

• Mittelwert- / Rechteckfilter: arithmetisches Mittel der Nachbarn. Kein idealer Tiefpass, weil hohe Frequenzen ungleichmässig gedämpft werden.
• Gauss-Filter: Gewichtung nach einer Glockenkurve. Kanten bleiben steiler als beim Rechteckfilter.
• Medianfilter (nichtlinear, Rangordnung): Die Nachbarwerte werden sortiert, der mittlere wird genommen. Beispiel: 1 1 1 2 3 4 4 5 7 → 3. Isolierte Störungen verschwinden, Kanten bleiben erhalten.

Hochpass (Schärfung, Kanten)

Hochpassfilter verstärken feine Strukturen und Kanten und löschen homogene Flächen. Bandpass-Filter trennen einen bestimmten Frequenzbereich heraus (z.B. zur Entrasterung).

• Sobel (richtungsabhängig, mit eingebauter Glättung). Die horizontale Maske lautet:

  -1 -2 -1
   0  0  0
   1  2  1
  

  Zwei orthogonale Sobel-Masken zusammen erfassen Kanten in allen Richtungen. Ähnlich funktionieren Prewitt und Roberts.
• Gradientenfilter: Betrag des Gradienten, richtungsunabhängig, aber nichtlinear.
• Laplace: 2. Ableitung, isotrop, sehr rauschempfindlich. Deshalb wird vorher geglättet.
• LoG / Marr-Hildreth („Mexican Hat“): Gauss-Glättung und Laplace in einem Filter. Kanten liegen an den Nulldurchgängen (Zero-Crossings).
• Canny: Näherung durch die Ableitung einer Gauss-Funktion. Bei stark verrauschten Bildern ist er Sobel und einfachen Gradienten weit überlegen.
• USM (Unscharfmaskierung) → Bildverbesserung

Morphologische Operatoren

Sie nutzen die Form von Objekten über ein Strukturelement und funktionieren auf Binär- und Grauwertbildern:

• Dilatation: Maximum der Nachbarn, helle Gebiete wachsen (binär: Blow/Expand).
• Erosion: Minimum der Nachbarn, dunkle Gebiete wachsen (binär: Shrink).
• Closing = Dilatation, dann Erosion: schliesst kleine Lücken.
• Opening = Erosion, dann Dilatation: glättet ausgefranste Ränder und entfernt dünne Linien und Pixelstörungen.
• Top-Hat: findet Markierungen für Objekte → Bildsegmentierung

Aus den Abbildungen der Quelle

Masken (S. 47–48):

• Laplace: Kanten liegen an den Nulldurchgängen der 2. Ableitung (Zero-Crossing), wo die 1. Ableitung ihr Maximum hat.
• Marr-Hildreth / LoG: Die 3D-Darstellung zeigt den „mexican hat“ (Gauss-Glättung + Laplace in einem Filter). Er liefert geschlossene Konturlinien, lokalisiert Ecken aber schlechter als Canny.
• Median (S. 37): Ein 3×3-Fenster wird zur geordneten Reihe; Minimum, Median und Maximum ergeben die drei Rangordnungsfilter.
• Morphologie (S. 34, Bildbeispiele): Erosion lässt helle Flächen schrumpfen und entfernt dünne Linien. Dilatation lässt sie wachsen und füllt Lücken. Closing (Dilatation, dann Erosion) schliesst Löcher und Buchten. Opening (Erosion, dann Dilatation) entfernt feine Strukturen wie Schraffuren, die grossen Formen bleiben erhalten.

Verwandt

• Fourier-Transformation – der Frequenzraum hinter den Filtern
• Bildverbesserung – wofür Filter in der Vorverarbeitung eingesetzt werden
• Bildsegmentierung – Kantendetektion und morphologische Segmentierung
• Digitale Bildverarbeitung – Überblick und Stufenmodell