Fourier-Transformation

Zerlegt ein Bild in gewichtete sinus- und cosinusförmige Basisbilder und überführt es so vom Ortsraum in den Frequenzraum, wo sich viele Eigenschaften leichter erkennen und bearbeiten lassen.

Idee

Die Fourier-Transformierte H(f) einer reellen Bildfunktion h(x) ist komplexwertig: Der Betrag bildet das Amplituden- bzw. Ortsfrequenzbild, die Phase trägt die Ortsbezüge. Viele Eigenschaften sind im Frequenzraum besser sichtbar (Quelle - Bildverarbeitung Zusammenfassung).

Eigenschaften

• Linearität: Die Summe von Bildern ergibt die Summe der Transformierten.
• Periodisches Muster → zwei Peaks symmetrisch zum Zentrum. Je kürzer die Periode, desto weiter liegen sie auseinander.
• Drehung im Ortsraum → gleiche Drehung im Frequenzraum.
• Skalierung mit Faktor a → Skalierung mit 1/a.
• Verschiebung → nur eine Phasenänderung, der Betrag bleibt gleich. Deshalb lassen sich verschobene Objekte über das Amplitudenspektrum erkennen.
• Faltungstheorem: Faltung im Ortsraum entspricht Multiplikation im Frequenzraum → Bildfilter.

Varianten

• DFT (diskret, 2D): nichtsymmetrischer Kern, als Zeilen- und Spaltentransformation ausführbar.
• FFT: effizienter Algorithmus für die DFT mit N/2·log₂N statt N² komplexen Multiplikationen (N = 2^p).
• Verwandte Transformationen für die Kompression (DCT, Walsh-Hadamard, Karhunen-Loève) → Bildcodierung.

Anwendungen

• Filter, die im Frequenzraum einfacher sind (z.B. Bandpass zur Entrasterung)
• schnelle Faltung
• JPEG-Kompression (über die DCT)
• Texturanalyse (lokale Frequenz und Orientierung) → Bildsegmentierung
• Fourierdeskriptoren für Konturen → Merkmalsextraktion

Aus den Abbildungen der Quelle

• Ähnlichkeit (S. 33): Eine Skalierung im Ortsraum um den Faktor α entspricht einer Skalierung im Frequenzraum um 1/α. Ein kleines Objekt hat also ein breites Spektrum.
• Die Bildpaare zeigen Raute, Quadrat und verschobenes Quadrat mit ihren sternförmigen Spektren. Nach der Verschiebung bleibt das Amplitudenspektrum gleich.
• Formeln (S. 60–62):
  • DFT: F(k,l) = Σᵣ Σₛ f(r,s) · e^(−j2π(kr/N₁ + ls/N₂))
  • Rücktransformation: f(r,s) = 1/(N₁·N₂) · Σₖ Σₗ F(k,l) · e^(+j2π(kr/N₁ + ls/N₂))
  • FFT: N = 2ᵖ. Durch Periodizität und Spaltenpermutation zerfällt die Transformationsmatrix in p Faktoren. Nötig sind nur M = (N/2)·log₂N komplexe Multiplikationen statt N².
• Prüfungsaufgabe (S. 134): Ein Streifenmuster unter 45° erzeugt im Frequenzbild zwei symmetrische Punkte auf der Diagonalen. Das entspricht einer einzelnen Sinus- oder Kosinusschwingung.

Verwandt

• Bildfilter – Faltung und Frequenzfilter
• Bildcodierung – Transformationscodierung
• Merkmalsextraktion – Fourierdeskriptoren
• Komplexe Zahl – Eulersche Formel e^(iφ) = cos φ + i sin φ
• Trigonometrie – Sinus- und Kosinusschwingungen
• Harmonische Schwingung – die Sinusschwingung als physikalischer Grundbaustein