| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-27 |
| Tags | mathematik, komplexe-zahlen, algebra |
Eine Zahl z = x + iy aus einem Realteil und einem Imaginärteil, mit i = √−1. Sie lässt sich auch in Polarform r·cis φ oder in Exponentialform r·e^(iφ) schreiben. Dort werden Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln besonders einfach.
Imaginäre Einheit
i = √−1, also i² = −1. Eine imaginäre Zahl ist das Produkt a·i einer reellen Zahl mit i. Beispiel: √−25 + √−100 = 5i + 10i = 15i (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 13).
Potenzen von i wiederholen sich mit Periode 4: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 … Also i²⁷ = i²⁴ · i³ = −i, man sucht die nächste durch 4 teilbare Potenz.
Komplexe Zahl
z = x + iy mit Realteil x = Re(z) und Imaginärteil y = Im(z). Die Menge heisst ℂ, es gilt ℝ ⊂ ℂ. Ist x = 0, ist z rein imaginär, ist y = 0, ist z reell. Oft schreibt man z als geordnetes Paar (x, y), also als Punkt in der Zahlenebene.
| Begriff | Formel | Beispiel z = 7 + 9i |
|---|---|---|
| konjugiert komplex (Spiegelung an der x-Achse) | z̄ = x − iy | 7 − 9i |
| konträr komplex (Spiegelung am Ursprung) | z′ = −x − iy | −7 − 9i |
| Betrag r | r = √(x² + y²) | √130 = 11,4 |
Polarform und Exponentialform
z = r(cos φ + i sin φ) = r cis φ mit r = √(x² + y²) und φ = arctan(y/x). Beispiel: 7 + 9i = 11,4 cis 52,1° (S. 14).
Eulersche Formel: e^(iφ) = cos φ + i sin φ = cis φ. Damit gilt z = r·e^(iφ) (Exponentialform, S. 16). Beispiel: (7 + 2i)·z = 3 + 4i → z = 0,55 + 0,42i = 0,68 e^(i·37,2°).
Bei φ = arctan(y/x) muss man auf den Quadranten achten: Für x < 0 muss man 180° addieren. Der Taschenrechner löst das mit der Funktion arg bzw. atan2. Die Quelle erwähnt das nicht, ihre Beispiele liegen alle im 1. Quadranten.
Grundoperationen
| Operation | Normalform | Polarform |
|---|---|---|
| Addition, Subtraktion | Real- und Imaginärteil einzeln: (4 + i) + (1 + 4i) = 5 + 5i | umständlich |
| Multiplikation | wie reelle Binome, mit i² = −1: (2 − 7i)(5 + 3i) = 31 − 29i | Beträge multiplizieren, Winkel addieren |
| Division | mit konjugiertem Nenner erweitern: (4 − 2i)/(2 + i) = (6 − 8i)/5 = 1,2 − 1,6i | Beträge dividieren, Winkel subtrahieren: 8 cis 85° / 2 cis 15° = 4 cis 70° |
| Potenz | aufwendig | (r cis φ)ⁿ = rⁿ cis(nφ): (2 cis 30°)⁴ = 16 cis 120° |
| Wurzel | aufwendig | ⁿ√r cis(φ/n + k·360°/n), k = 0 … n−1 |
Wurzeln (S. 15): Es gibt n verschiedene n-te Wurzeln. Alle haben denselben Betrag, ihre Winkel liegen 360°/n auseinander. Die Lösung mit k = 0 heisst Hauptwert. Beispiel: ³√(8 cis 120°) = 2 cis 40°, 2 cis 160°, 2 cis 280°. Steht die Wurzel in der Aufgabe, gilt nur der Hauptwert. Entsteht sie beim Rechnen, sind alle n Lösungen anzugeben.
Alle Beispiele nachgerechnet (Claude), sie stimmen.
Die Exponentialform ist die Grundlage der Fourier-Transformation: Sie zerlegt ein Signal oder Bild in Summen von e^(iωt), also in Drehzeiger mit Betrag (Amplitude) und Winkel (Phase). Dass Multiplikation in Polarform zur Drehung wird, ist der Grund, warum Elektrotechnik, Signal- und Bildverarbeitung komplexe Zahlen verwenden.
Verwandt
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- Potenz, Wurzel und Logarithmus – quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante
- Fourier-Transformation – rechnet mit e^(iφ)
- Funktion – Polarkoordinaten
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