| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-27 |
| Tags | mathematik, trigonometrie, geometrie |
Die Lehre von den Winkelfunktionen sin, cos, tan und cot: am rechtwinkligen Dreieck, im allgemeinen Dreieck (Sinus- und Kosinussatz), als periodische Funktionen mit Umkehrfunktionen und in den Additionstheoremen.
Rechtwinkliges Dreieck
Mit Hypotenuse c und dem Winkel α gegenüber der Kathete a (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 26):
- sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = a/c
- cos α = Ankathete / Hypotenuse = b/c
- tan α = Gegenkathete / Ankathete = a/b
- cot α = Ankathete / Gegenkathete = b/a
Umgekehrt: α = arcsin(a/c) = arccos(b/c) = arctan(a/b).
Häufige Werte:
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmass | 0 | 0,52 | 0,79 | 1,05 | 1,57 |
| sin | 0 | 0,5 | 0,71 | 0,87 | 1 |
| cos | 1 | 0,87 | 0,71 | 0,5 | 0 |
| tan | 0 | 0,58 | 1 | 1,73 | nicht definiert |
| cot | nicht definiert | 1,73 | 1 | 0,58 | 0 |
Die Tabelle auf S. 26 gibt sin 45° und cos 45° mit 0,70 und das Bogenmass mit 0,78 an. Richtig gerundet sind es 0,71 (√2/2 = 0,7071) und 0,79 (π/4 = 0,785). Für tan 90° und cot 0° steht „∞“. Genauer ist „nicht definiert“, die Funktionen wachsen dort über alle Grenzen.
Allgemeines Dreieck
- Sinussatz: a : b : c = sin α : sin β : sin γ
- Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab·cos γ, entsprechend für a und b. Für γ = 90° wird daraus der Satz des Pythagoras.
Winkelfunktionen als Funktionen
| Funktion | Periode | Nullstellen |
|---|---|---|
| sin x | 360° | k · 180° |
| cos x | 360° | 90° + k · 180° |
| tan x | 180° | k · 180° |
| cot x | 180° | 90° + k · 180° |
Bogenmass: α_b = α_g · π / 180°, also 180° = π, 90° = π/2, 360° = 2π (S. 25).
Umkehrfunktionen (S. 25): Weil die Winkelfunktionen periodisch sind, muss man den Bereich einschränken, damit sie umkehrbar werden:
- arcsin: [−1, 1] → [−90°, 90°]
- arccos: [−1, 1] → [0°, 180°]
- arctan: ℝ → ]−90°, 90°[
Umrechnungen und Beziehungen
- sin²α + cos²α = 1 (Pythagoras im Einheitskreis)
- tan α = sin α / cos α = 1 / cot α
- sin α = cos(90° − α), tan α = cot(90° − α)
- Jede Funktion lässt sich durch jede andere ausdrücken, z.B. sin α = tan α / √(1 + tan²α). Die Quelle gibt dazu eine vollständige Tabelle an (S. 24).
Additionstheoreme (S. 24)
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
- cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
- Doppelter Winkel: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = 1 − 2 sin²α, tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α)
- Dreifacher Winkel: sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α, cos 3α = 4 cos³α − 3 cos α
- Halber Winkel: sin(α/2) = ½√(2 − 2 cos α), cos(α/2) = ½√(2 + 2 cos α), tan(α/2) = sin α / (1 + cos α)
- Summen: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2), cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)
Stichprobenweise geprüft (Claude), die Formeln stimmen.
Die Additionstheoreme ergeben sich in einer Zeile aus der Eulerschen Formel e^(iφ) = cos φ + i sin φ (siehe Komplexe Zahl). Aus e^(i(α+β)) = e^(iα) · e^(iβ) folgen Real- und Imaginärteil direkt. Sinus und Kosinus als Schwingungen sind die Bausteine der Fourier-Transformation.
Verwandt
- Komplexe Zahl – Polarform r·cis φ und Eulersche Formel
- Funktion – Umkehrfunktionen und Einschränkung des Bereichs
- Differentialrechnung – Ableitungen: (sin x)′ = cos x, (arcsin x)′ = 1/√(1−x²)
- Integralrechnung – Bogenlänge eines Kreises
- Fourier-Transformation – Zerlegung in Sinus- und Kosinusschwingungen
- Vektor – Zerlegung in Komponenten mit sin und cos, in der Physik ständig gebraucht