Harmonische Schwingung

Eine periodische Hin-und-her-Bewegung, bei der die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist (hookesches Gesetz). Die Auslenkung folgt einer Sinus- bzw. Kosinuskurve, die Kreisfrequenz hängt nur von Federkonstante und Masse ab (ω = √(k/m)), beim Pendel nur von der Länge.

Hookesches Gesetz

Robert Hooke (17. Jahrhundert): Die Kraft, um einen elastischen Körper zu verformen, ist proportional zur Verformung (Quelle - Physik für Dummies, Kap. 12): F = −k · x

• k ist die Federkonstante in N/m.
• Das Minus zeigt: Die Kraft der Feder wirkt der Auslenkung entgegen, sie ist rücktreibend.
• Das Gesetz gilt nur im elastischen Bereich, danach verformt sich die Feder bleibend. Eine Feder, die es exakt befolgt, heisst ideale Feder.
• Beispiel Stossdämpfer: 250 kg pro Rad bei 0,5 m Federweg brauchen k = 2450 N / 0,5 m = 4900 N/m, für Schlaglöcher mindestens das Doppelte.

Die Bewegung

• Die Masse schiesst wegen ihrer Trägheit immer über die Ruhelage hinaus. In der Ruhelage ist sie am schnellsten, an den Umkehrpunkten steht sie kurz still.
• Die grösste Auslenkung heisst Amplitude A.
• An einer senkrechten Feder verschiebt das Gewicht nur die Ruhelage um m·g/k, die Schwingung bleibt gleich.
• „Einfach“ heisst: nur konservative Kräfte, keine Reibung. Real kommt jede Schwingung zur Ruhe.

Der Referenzkreis

Ein Ball auf einer rotierenden Scheibe wirft, seitlich beleuchtet, einen Schatten, der harmonisch schwingt. Daraus folgen die Gleichungen (Kreisbewegung):

• x(t) = A · cos(ω·t)
• v(t) = −A·ω · sin(ω·t), grösste Geschwindigkeit A·ω in der Ruhelage
• a(t) = −A·ω² · cos(ω·t) = −ω²·x

ω heisst hier Kreisfrequenz. Weiter gilt:

• Periode T = 2π/ω (Zeit für einen Zyklus)
• Frequenz f = 1/T = ω/(2π), Einheit Hertz (Hz), nach Heinrich Hertz

Beispiele:

• Bungee: Die Höchstgeschwindigkeit ist proportional zur Amplitude, zehnfache Auslenkung ergibt bei gleicher Frequenz 40 statt 4 m/s.
• Telefonmembran mit A = 10⁻⁴ m bei 1 kHz: a = A·(2πf)² ≈ 3900 m/s², etwa 400 g.

Federpendel

Aus F = −k·x und a = −ω²·x folgt: ω = √(k/m), T = 2π·√(m/k)

• 45 g an einer Feder mit k = 0,01 N/m: T ≈ 13,3 s.

Energie

• Elastische potenzielle Energie der Feder: E = ½ · k · x² (Arbeit mit der mittleren Kraft ½·k·x über den Weg x).
• Die mechanische Energie ½·k·x² + ½·m·v² bleibt erhalten. Am Umkehrpunkt ist alles Federenergie, in der Ruhelage alles Bewegungsenergie (Arbeit und Energie).

Fadenpendel

Für kleine Auslenkungen wirkt das Drehmoment der Schwerkraft wie eine Feder, mit dem Trägheitsmoment m·l² (Rotation): ω = √(g/l), T = 2π·√(l/g) Die Periode ist unabhängig von der Masse und, bei kleinen Winkeln, von der Amplitude.

Verwandt

• Kreisbewegung – der Referenzkreis
• Arbeit und Energie – Energieerhaltung beim Schwingen
• Rotation – das Pendel über Drehmoment und Trägheitsmoment
• Trigonometrie – Sinus- und Kosinuskurven, Periode
• Fourier-Transformation – Signale als Summe harmonischer Schwingungen
• Elektromagnetische Induktion – Wechselspannung als Sinusschwingung