| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Physik für Dummies |
| Erstellt | 2026-09-27 |
| Aktualisiert | 2026-09-27 |
| Tags | physik, mechanik, rotation, drehmoment, drehimpuls |
Die Mechanik drehender Körper: Drehmoment statt Kraft, Trägheitsmoment statt Masse, Winkelbeschleunigung statt Beschleunigung. Es gelten Στ = I·α, E_rot = ½·I·ω² und die Erhaltung des Drehimpulses L = I·ω.
Die Übersetzungstabelle
| geradlinig | Drehung | Zusammenhang |
|---|---|---|
| Weg s | Winkel θ | s = r·θ |
| Geschwindigkeit v | Winkelgeschwindigkeit ω | v = r·ω |
| Beschleunigung a | Winkelbeschleunigung α | a_t = r·α |
| Masse m | Trägheitsmoment I | I = Σ m·r² |
| Kraft F | Drehmoment τ | τ = F·r·sin θ |
| F = m·a | Στ = I·α | |
| Arbeit F·s | Arbeit τ·θ | |
| E_kin = ½·m·v² | E_rot = ½·I·ω² | |
| Impuls p = m·v | Drehimpuls L = I·ω |
(Quelle - Physik für Dummies, Kap. 10–11)
Tangentialgrössen
- Die Tangentialgeschwindigkeit eines Punktes im Radius r ist v = r·ω. Aussen dreht es schneller als an der Nabe. Motorradreifen mit r = 40 cm und ω = 21,5π rad/s: 27 m/s, knapp 100 km/h.
- Zusätzlich wirkt die Zentripetalbeschleunigung a_Z = r·ω² (Kreisbewegung). Für den Mond (Umlauf 28 Tage, r = 3,85 · 10⁸ m) muss die Erde etwa 1,9 · 10²⁰ N aufbringen.
- Richtung: ω und α zeigen senkrecht zur Drehebene, entlang der Achse. Rechte-Hand-Regel: Finger in Drehrichtung, der Daumen zeigt die Richtung von ω (Vektor).
Drehmoment
- τ = F · l, l ist der Hebelarm: der senkrechte Abstand der Kraftwirkungslinie vom Drehpunkt. Allgemein τ = F·r·sin θ. Einheit N·m.
- Eine Tür lässt sich an der Klinke leicht öffnen, am Scharnier gar nicht. Mit 200 N bei 1 m entstehen 200 N·m, unter 45° nur 141 N·m.
- Vorzeichen: Gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ.
- Wippe: Die doppelte Masse muss halb so weit vom Drehpunkt sitzen.
Rotationsgleichgewicht
Ein Körper dreht sich nicht schneller oder langsamer, wenn Στ = 0. Für volles Gleichgewicht gilt zusätzlich ΣF = 0 (Newtonsche Gesetze).
- Fahnenstange: Eine 50-kg-Fahne 3 m vom Lager, die Schraube 10 cm dahinter, muss 14 700 N tragen.
- Leiter an der Wand (45°, Mann 650 N, Leiter 200 N): Die Wand drückt mit rund 590 N, genau so viel Reibung braucht der Boden. Mit μ_H = 0,7 reicht es gerade (Reibung).
Trägheitsmoment
Das Trägheitsmoment hängt davon ab, wie die Masse um die Achse verteilt ist. Für eine Punktmasse I = m·r², sonst summiert man alle Massenteile: I = Σ m·r². Einheit kg·m².
| Körper (Drehachse durch den Mittelpunkt) | I |
|---|---|
| Punktmasse im Abstand r, Reifen, dünnwandiger Hohlzylinder | m·r² |
| Vollzylinder, Scheibe | ½·m·r² |
| Hohlkugel | ⅔·m·r² |
| Vollkugel | ⅖·m·r² |
| Stab der Länge l, Achse durch die Mitte | 1/12·m·l² |
| Stab der Länge l, Achse am Ende | ⅓·m·l² |
Im E-Book fehlen die Brüche in Tabelle 11.1 und auf der Schummelseite (nur Bilder). Die Werte oben sind die Standardwerte der Physik und passen zu den Rechnungen im Buch, etwa ½·m·r² für CD, Seilrolle und Vollzylinder.
Beispiele: Eine CD (30 g, r = 6 cm) wird in 50 min von 700 auf 200 U/min gebremst, das braucht nur etwa 10⁻⁶ N·m. Eine Seilrolle (1 kg, r = 10 cm) mit 200 N Zug gegen 16 kg Last: Στ = 20 − 16 = 4 N·m, α = τ/I = 800 rad/s².
Arbeit und Rotationsenergie
- Arbeit: W = τ · θ (θ in rad). Ein Propeller mit 600 N·m über 100 Umdrehungen: 3,8 · 10⁵ J.
- Rotationsenergie: E_rot = ½·I·ω², hergeleitet durch Summieren von ½·m·v² über alle Teile.
- Rollen: Ein rollender Körper hat beide Energien: m·g·h = ½·m·v² + ½·I·ω². Beim Wettrennen die Rampe hinab gewinnt der Vollzylinder (v = √(4gh/3)) gegen den Hohlzylinder (v = √(gh)), er ist unten etwa 1,15-mal so schnell, weil beim Hohlzylinder mehr Energie in die Drehung geht (Arbeit und Energie).
Drehimpuls
- L = I · ω, Vektor in Richtung von ω, Einheit kg·m²/s.
- Drehimpulserhaltung: Ohne äussere Drehmomente bleibt L konstant: I₁·ω₁ = I₂·ω₂. Eiskunstläufer drehen schneller, wenn sie die Arme anziehen.
- Satellit auf der Ellipsenbahn: Die Gravitation zieht immer zum Zentrum und erzeugt kein Drehmoment. Also m·r₁·v₁ = m·r₂·v₂. Um Pluto: 9000 m/s bei 6 · 10⁶ m, nur 2700 m/s bei 2 · 10⁷ m (Gravitation).
Verwandt
- Kreisbewegung – Winkelgrössen und Zentripetalbeschleunigung
- Newtonsche Gesetze – die geradlinigen Gegenstücke
- Impuls – Erhaltungssatz für geradlinige Bewegung
- Harmonische Schwingung – das Pendel über Drehmoment und Trägheitsmoment
- Magnetismus – Drehmoment auf eine Spule im Elektromotor
- Gravitation – zweites keplersches Gesetz als Drehimpulserhaltung