| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-27 |
| Tags | mathematik, analysis, integral, numerik |
Die Umkehrung des Ableitens. Das bestimmte Integral misst die Fläche unter einer Kurve als Grenzwert von Rechtecksummen. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Damit berechnet man Flächen, Rotationsvolumen, Bogenlängen und Mantelflächen, und wo keine Stammfunktion greifbar ist, näherungsweise mit Trapez- oder Simpsonregel.
Bestimmtes Integral
Die Fläche unter f wird durch Rechtecke der Breite Δx angenähert (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 33):
- Untersumme A_u: Rechteckhöhe = kleinster Funktionswert im Streifen
- Obersumme A_o: Rechteckhöhe = grösster Funktionswert
- Es gilt A_u < A < A_o. Je schmaler die Streifen, desto genauer. Im Grenzwert Δx → 0 werden beide gleich A.
Beispiel: f(x) = 0,1x² + 2 auf [3, 10] mit Δx = 1: A_u = 42,0, A_o = 51,1. Nachgerechnet (Claude), stimmt.
S. 33 schreibt „42,0 < A > 51,1“ und „A_u > A < A_o“. Die Zeichen sind verkehrt, richtig ist 42,0 < A < 51,1 und A_u < A < A_o.
Schreibweise ∫ₐᵇ f(x) dx: a ist die untere Grenze, b die obere, f(x) der Integrand.
Eigenschaften:
- Konstante Faktoren darf man vor das Integral ziehen, Summen gliedweise integrieren.
- Vertauscht man die Grenzen, wechselt das Vorzeichen. Gleiche Grenzen ergeben 0.
- ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ für a < c < b
- Jede auf [a, b] stetige Funktion ist dort integrierbar.
Unbestimmtes Integral
Eine Stammfunktion F von f erfüllt F′(x) = f(x). Die Menge aller Stammfunktionen ist das unbestimmte Integral ∫f(x) dx = F(x) + C (S. 34).
| f(x) | F(x) |
|---|---|
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹ / (n + 1) |
| (a + bx)ⁿ | (a + bx)ⁿ⁺¹ / (b(n + 1)) |
| 1/x | ln|x| |
| √x, 1/√x | ⅔√x³, 2√x |
| eˣ, aˣ | eˣ, aˣ / ln a |
| ln x | x(ln x − 1) |
| sin x, cos x | −cos x, sin x |
| tan x, cot x | −ln|cos x|, ln|sin x| |
| 1/cos²x, −1/sin²x | tan x, cot x |
Die Tabelle auf S. 34 schreibt ln x statt ln|x|. Für negative x wäre ln x nicht definiert, die Stammfunktion von 1/x existiert dort aber. Bei 1/(x + a) steht „x ≠ a“ statt x ≠ −a, und „cot xˣ“ ist ein Tippfehler für cot x.
Beispiele (S. 35): Substitution z = x − 4 bzw. z = 5 + x⁴, z.B. ∫ x³/√(5 + x⁴) dx = ½√(5 + x⁴) + C. Handschriftlich ergänzt: ∫ (ln x)/x dx = ½(ln x)² + C. Nachgerechnet, stimmt.
Flächenfunktion und Hauptsatz
Lässt man die obere Grenze variabel, entsteht die Flächenfunktion A_a(x) = ∫ₐˣ f(t) dt. Ihre Ableitung ist f selbst, A_a′(x) = f(x). Die Flächenfunktion ist also eine Stammfunktion. Deshalb gilt:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Zwei Flächenfunktionen mit verschiedener unterer Grenze unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Diesen Zusammenhang nennt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Quelle nennt ihn nicht so, stellt ihn aber auf S. 35 vollständig dar. Er verbindet die beiden Hälften der Analysis: Fläche (Summe) und Steigung (Ableitung) sind Umkehroperationen.
Anwendungen
| Anwendung | Formel | Beispiel der Quelle | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| Fläche | A = F(b) − F(a) | 0,1x² + 2 auf [3, 10] | 46,43 (Quelle: 46,1) |
| Fläche mit Vorzeichenwechsel | Nullstellen suchen, stückweise integrieren, Beträge addieren | zwischen y₁ = x³ − 3x² − 24x + 16 und y₂ = −3x² − 8x + 16 | 128 |
| Rotationsvolumen um x-Achse | V = π ∫ y² dx | 0,1x² + 2 auf [3, 10] | 1122,3 |
| Rotationsvolumen um y-Achse | V = π ∫ x² dy | ||
| Bogenlänge | l = ∫ √(1 + f′(x)²) dx | Viertelkreis mit Radius 2 | π |
| Mantelfläche | A = 2π ∫ f(x) √(1 + f′(x)²) dx | y = x³ auf [0, 1] | 3,56 |
| Kegel y = (r/h)·x | πr√(h² + r²) |
S. 36 rechnet mit 0,1/3 ≈ 0,033 und erhält 46,1. Genau ist (0,1/3)(1000 − 27) + 2·7 = 32,43 + 14 = 46,43. Das liegt auch sauber zwischen der Unter- und Obersumme von S. 33.
Alle anderen Ergebnisse der Tabelle nachgerechnet (Claude), sie stimmen.
Numerische Integration
Wenn man keine Stammfunktion kennt, zerlegt man [a, b] in k Streifen der Breite Δx = (b − a)/k (S. 38):
- Trapezregel (Streifen als Trapeze): ∫ ≈ Δx · ( (f(a) + f(b))/2 + f(x₁) + … + f(xₖ₋₁) )
- Simpsonregel (je drei Punkte durch eine Parabel): ∫ ≈ Δx/3 · ( f(a) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₖ₋₁) + f(b) )
Beispiel: ∫₁² 1/x dx = ln 2 = 0,693147 mit k = 10:
| Verfahren | Ergebnis | Fehler |
|---|---|---|
| Trapezregel | 0,693771 | 6 · 10⁻⁴ |
| Simpsonregel | 0,693150 | 3 · 10⁻⁶ |
(nachgerechnet, Claude)
Auf S. 38 sind die beiden Beispiele vertauscht: Das Beispiel „Trapez Regel“ gewichtet mit 4, 2, 4 … und teilt durch 3, rechnet also Simpson (ohne Endergebnis). Das Beispiel „Simpsonsche Regel“ halbiert die Randwerte und erhält 0,69377, das ist das Trapez-Ergebnis. Ausserdem steht im Simpson-Kasten „x₀ = x₁ + Δx“ statt x₁ = x₀ + Δx.
Die Simpsonregel braucht eine gerade Anzahl Streifen k, das fehlt in der Quelle. Sie ist bei gleichem Aufwand viel genauer, weil ihr Fehler mit Δx⁴ statt mit Δx² schrumpft: Halbiert man die Streifenbreite, wird Simpson 16-mal genauer, Trapez nur 4-mal.
Verwandt
- Differentialrechnung – Ableiten als Umkehrung
- Folge und Reihe – Integral als Grenzwert von Summen
- Trigonometrie – Bogenlänge am Kreis
- Funktion – Nullstellen für stückweises Integrieren
- HP 48G – symbolisches und numerisches Integrieren
- Arbeit und Energie – Arbeit als Fläche unter der Kraftkurve, auch im p-V-Diagramm der Thermodynamik