Folge und Reihe

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Folge und Reihe
TypKonzept
QuellenQuelle - Mathematik Zusammenfassung
Erstellt2026-09-26
Aktualisiert2026-09-26
Tagsmathematik, analysis, folgen, reihen, grenzwert

Eine Folge ordnet den natürlichen Zahlen der Reihe nach Werte a₁, a₂, a₃ … zu, eine Reihe summiert sie auf. Wichtig sind arithmetische Folgen (konstante Differenz) und geometrische Folgen (konstanter Quotient) sowie ihre Grenzwerte, z.B. die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe.

Folgen

Eine Zahlenfolge ist eine Vorschrift F: n → aₙ = f(n), n ∈ ℕ. Ist n nach oben beschränkt, ist die Folge endlich. Anstelle eines Linienzugs erhält man einzelne Punkte (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 16).

  • explizit: aₙ = f(n), z.B. aₙ = n² − 1
  • rekursiv: aus dem Vorgänger, aₙ₊₁ = f(aₙ, n). Beispiel: a₁ = 5, aₙ₊₁ = aₙ + 3 → 5, 8, 11, 14, 17 …
  • Rückwärts auflösen: aₙ₊₁ = 2aₙ − 2n mit a₃ = 20. Umgestellt aₙ = aₙ₊₁/2 + n → a₂ = 12, a₁ = 7. Folge: 7, 12, 20, 34, 60, 110, 208. Nachgerechnet, stimmt.
Fehler in der Quelle

S. 16: „Teilweise startet man die Folge mit Null. Es handelt sich dann um eine Nullfolge.“ Das ist falsch. Eine Folge, die bei n = 0 beginnt, ist einfach eine Folge mit Startindex 0. Eine Nullfolge ist eine Folge mit dem Grenzwert 0, z.B. 1/n.

Reihen

Die Summe sₖ = a₁ + a₂ + … + aₖ heisst Reihe. Man schreibt sie mit dem Summenzeichen Σ, das Leonhard Euler einführte: Σₙ₌₁⁶ n = 1 + 2 + … + 6 = 21. Beispiel für aₙ = n² − 1: s₅ = 0 + 3 + 8 + 15 + 24 = 50 (S. 17).

Arithmetische Folge und Reihe

Konstante Differenz d zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern:

  • aₙ = a₁ + (n − 1)·d, rekursiv aₙ₊₁ = aₙ + d
  • sₖ = k/2 · (a₁ + aₖ): Anzahl Glieder mal Mittelwert von erstem und letztem Glied

Beispiele:

  • Summe von 1., 3. und 5. Glied = 30, Produkt von 1. und 2. Glied = 28. Daraus a₁² + 10a₁ − 56 = 0, mit zwei Lösungen: 4, 7, 10, 13 … und −14, −2, 10, 22 … (S. 17).
  • Büchsenturm mit 25 Büchsen unten, jede Lage eine weniger: 25 Lagen, die 10. Lage hat 16 Büchsen, total s₂₅ = 25/2 · (25 + 1) = 325 (S. 18).

Geometrische Folge und Reihe

Konstanter Quotient q:

  • aₙ = a₁ · q^(n−1), rekursiv aₙ₊₁ = aₙ · q
  • Jedes innere Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn: aₙ = √(aₙ₋₁ · aₙ₊₁)
  • sₖ = a₁ · (1 − qᵏ)/(1 − q), für q ≠ 1

Beispiele (S. 18–19):

  • Zwischen 49 und 1/49 drei Glieder einschieben: q⁴ = 1/49² → q = 1/7, Folge 49, 7, 1, 1/7, 1/49
  • q aus a₁, aₖ und sₖ: q = (a₁ − sₖ)/(aₖ − sₖ)
  • 120 dm³ Alkohol zu 75 %, 30-mal werden 3 dm³ durch Wasser ersetzt: 75 · (117/120)³⁰ = 35,098 %
  • Radioaktiver Zerfall: Nach wie vielen Halbwertszeiten sind von 2 g Radium nur noch 1 mg übrig? 0,001 = 2 · 0,5^(k−1) → k − 1 = 10,97 Halbwertszeiten → 17 435 Jahre
Ungenauigkeiten in der Quelle
  • S. 18: q⁴ = 1/49² hat reell zwei Lösungen, q = ±1/7. Auch 49, −7, 1, −1/7, 1/49 erfüllt die Aufgabe.
  • S. 19: Im Text steht eine Halbwertszeit von „1950 Jahren“, gerechnet wird mit 1590. Das Ergebnis 17 435 Jahre passt nur zu 1590. Ausserdem ist „lg“ geschrieben, gerechnet wird aber mit ln (−6,9 = ln 0,001). Das Ergebnis ist davon nicht betroffen, weil sich die Basis herauskürzt.
Einordnung (Claude)

Die Halbwertszeit von Radium-226 wird heute mit rund 1600 Jahren angegeben. Die 1590 Jahre der Quelle liegen also nahe, die 1950 Jahre im Aufgabentext sind wohl ein Zahlendreher. Das ist Allgemeinwissen und nicht eigens recherchiert.

Grenzwerte

Eine Folge hat den Grenzwert g, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder in einem beliebig schmalen Streifen um g liegen: |aₙ − g| < ε für hinreichend grosse n (S. 20).

Beispiele:

  • aₙ = 3 − 4/n² → g = 3. Aus 4/n² < ε folgt n > √(4/ε). Für ε = 0,005 gilt das ab n = 29.
  • aₙ = (2n + 7)/(4n − 3) → g = 0,5, mit |aₙ − 0,5| = 34/(16n − 12) < ε

Geometrische Folge aₙ = a₁ · q^(n−1):

  • |q| < 1: Grenzwert 0
  • q = 1: konstante Folge a₁
  • |q| > 1: kein Grenzwert
Ungenauigkeit in der Quelle

S. 20 sagt, für |q| > 1 „wächst die Folge monoton steigend“. Das stimmt nur für q > 1 (und a₁ > 0). Für q < −1 springt das Vorzeichen hin und her, und für q = −1 pendelt die Folge zwischen a₁ und −a₁. Auch dann gibt es keinen Grenzwert.

Unendliche geometrische Reihe

Für |q| < 1 geht qᵏ gegen 0, und die Reihe hat den Grenzwert s = a₁ / (1 − q) (S. 21).

Beispiel: Ein Turm aus unendlich vielen Quadern. Der erste Quader ist 20 cm hoch und breit, jeder folgende 1/4 weniger hoch und 1/3 weniger breit.

  • Höhe: 20 / (1 − 3/4) = 80 cm
  • Volumen: 8000 / (1 − 1/3) = 12 000 cm³, mit q = (2/3)² · 3/4 = 1/3

Nachgerechnet (Claude), stimmt.

Einordnung (Claude)

Die exponentielle Glättung aus der Marktforschung ist eine geometrische Reihe: Die Prognose ist eine gewichtete Summe aller früheren Werte mit den Gewichten α, α(1−α), α(1−α)² …, also q = 1 − α. Die Gewichte summieren sich nach der Formel oben zu α / (1 − (1 − α)) = 1. Auch Zinseszins, radioaktiver Zerfall und der Produktlebenszyklus in seiner Wachstumsphase folgen geometrischem Wachstum. Der Zinseszinseffekt ist auch das Bild hinter Wissen mit Zinseszinseffekt.

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