| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-26 |
| Tags | mathematik, algebra |
Eine Aussage mit <, >, ≤ oder ≥ zwischen zwei Termen. Umgeformt wird wie bei Gleichungen, mit einer Ausnahme: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, dreht sich das Zeichen um. Bei Brüchen braucht es deshalb eine Fallunterscheidung.
Regeln
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 3):
- beide Seiten mit einer Zahl kleiner 0 multipliziert
- beide Seiten durch eine Zahl kleiner 0 dividiert
- die Seiten vertauscht
Beispiel mit Fallunterscheidung
1/(x − 2) < 2/(x + 3)
Um die Nenner wegzubringen, muss man wissen, ob sie positiv oder negativ sind. Das ergibt vier Fälle:
| Fall | Voraussetzung | Umformung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| + + | x > 2 und x > −3, also x > 2 | x + 3 < 2x − 4 → x > 7 | x > 7 |
| − − | x < 2 und x < −3, also x < −3 | Produkt der Nenner positiv, gleiche Umformung → x > 7 | Widerspruch, keine Lösung |
| + − | x > 2 und x < −3 | unmöglich | keine Lösung |
| − + | −3 < x < 2 | Produkt negativ, Zeichen dreht → x < 7 | −3 < x < 2 |
Lösung: (−3 < x < 2) ∨ (x > 7). Nachgerechnet (Claude), stimmt. In der Quelle heissen zwei Fälle „1. Fall“ und zwei „2. Fall“, das ist nur eine Nummerierungsungenauigkeit.
Schneller geht es, wenn man alles auf eine Seite bringt: 1/(x−2) − 2/(x+3) < 0 ergibt (7 − x)/((x−2)(x+3)) < 0. Dann liest man das Vorzeichen an den drei kritischen Stellen −3, 2 und 7 aus einer Vorzeichentabelle ab. Ungleichungen tauchen in diesem Wiki auch als ε-Bedingung beim Grenzwert (|aₙ − g| < ε, siehe Folge und Reihe) und als Nebenbedingungen in der Optimierung auf.
Verwandt
- Gleichungssystem – dieselben Umformungsregeln, ohne Vorzeichenfalle
- Folge und Reihe – Grenzwertbeweise sind Ungleichungen
- Boolesche Algebra – die Lösungsmenge wird mit ∧ und ∨ verknüpft