Gleichungssystem

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Gleichungssystem
TypKonzept
QuellenQuelle - Mathematik Zusammenfassung
Erstellt2026-09-26
Aktualisiert2026-09-27
Tagsmathematik, algebra, lineare-algebra

Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Lineare Systeme löst man durch Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren, oder mit Determinanten nach der Cramerschen Regel.

Äquivalente Umformungen

Eine Gleichung bleibt gültig, wenn man (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 4):

  • die Seiten vertauscht
  • auf beiden Seiten denselben Term addiert, subtrahiert, multipliziert oder durch ihn dividiert (Division nicht durch 0)

Drei Lösungsmethoden

Beispiel: x + y = 10 und 8x − 3y = 3.

Methode Vorgehen Rechnung
Einsetzen eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen y = 10 − x → 8x − 3(10 − x) = 3 → 11x = 33
Gleichsetzen beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen 10 − x = −1 + 8/3 x → 33 = 11x
Addition Gleichungen so multiplizieren, dass sich eine Variable beim Addieren aufhebt (1)·3 + (2): 11x = 33

Ergebnis jeweils x = 3, y = 7.

Drei Unbekannte (Additionsmethode, S. 4): 2x + 3y − 5z = −7, 3x + y + 2z = 17, 5x − 2y + 3z = 16. Man eliminiert schrittweise y und dann z und erhält x = 2, y = 3, z = 4. Nachgerechnet (Claude), stimmt.

Determinanten

Rechenregeln für Determinanten (S. 5–6):

  1. Zeilen und Spalten vertauschen (Transponieren) ändert den Wert nicht. Alle Sätze gelten deshalb auch für Spalten.
  2. Vertauscht man zwei Zeilen, ändert sich das Vorzeichen.
  3. Eine Nullzeile ergibt den Wert 0.
  4. Zwei gleiche Zeilen ergeben den Wert 0.
  5. Multipliziert man eine Zeile mit z, wird die Determinante mit z multipliziert.
  6. Besteht eine Zeile aus Summen, zerfällt die Determinante in eine Summe zweier Determinanten.
  7. Addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, ändert sich der Wert nicht. Das ist die Grundlage des Gauss-Verfahrens.
Fehler in der Quelle

Bei Satz 6 und 7 (S. 6) steht in der dritten Spalte „a₁₁ + b₁₃“ bzw. „a₁₁ + z·a₂₃“. Gemeint ist jeweils a₁₃.

Cramersche Regel

Für das System a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z = k₁ usw. gilt x = D_x / D, y = D_y / D, z = D_z / D. D ist die Determinante der Koeffizienten. Für D_x ersetzt man die x-Spalte durch die rechten Seiten k₁, k₂, k₃, entsprechend für y und z. Die Quelle gibt die Regel ohne Herleitung an.

Einordnung (Claude)

Ist D = 0, versagt die Regel: Das System hat dann keine oder unendlich viele Lösungen. Für grosse Systeme ist Cramer unpraktisch, weil die Zahl der Rechenschritte faktoriell wächst. Computer verwenden das Gauss-Verfahren mit etwa n³ Schritten. Die 3×3-Determinante selbst berechnet man mit der Regel von Sarrus, die in der Quelle nicht vorkommt.

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