Potenz, Wurzel und Logarithmus

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Potenz, Wurzel und Logarithmus
TypKonzept
QuellenQuelle - Mathematik Zusammenfassung
Erstellt2026-09-26
Aktualisiert2026-09-26
Tagsmathematik, algebra, logarithmus

Drei zusammengehörige Operationen: Die Potenz rechnet aᵇ aus, die Wurzel sucht die Basis, der Logarithmus sucht den Exponenten. Dazu gehören die Rechengesetze, der Binomialkoeffizient und das Lösen von quadratischen, Exponential-, Logarithmus- und Wurzelgleichungen.

Potenz- und Wurzelgesetze

Definitionen (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 7): a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0), a^(n/m) = m-te Wurzel aus aⁿ (a > 0).

Nr. Potenzgesetz Wurzelgesetz
I aᵖ · a^q = a^(p+q) ᵏ√aᵐ · ᵏ√aⁿ = ᵏ√a^(m+n)
II aᵖ / a^q = a^(p−q) ᵏ√aᵐ / ᵏ√aⁿ = ᵏ√a^(m−n)
III aᵖ · bᵖ = (ab)ᵖ ᵏ√a · ᵏ√b = ᵏ√(ab)
IV aᵖ / bᵖ = (a/b)ᵖ ᵏ√a / ᵏ√b = ᵏ√(a/b)
V (aᵖ)^q = a^(pq) ˡ√(ᵏ√a) = ˡᵏ√a

Wurzeln sind also Potenzen mit Bruchexponenten, die Wurzelgesetze folgen direkt aus den Potenzgesetzen.

Binomialkoeffizient

C(n, k) = n·(n−1)·…·(n−k+1) / (1·2·…·k), mit C(n, 0) = 1. Beispiel: C(5, 3) = 60/6 = 10 (S. 8).

Das (k+1)-te Glied von (A + B)ⁿ ist C(n, k) · A^(n−k) · Bᵏ. Das 5. Glied von (2x − 3y)²⁰⁰⁰ ist C(2000, 4) · (2x)¹⁹⁹⁶ · (3y)⁴ = 664 668 499 500 · (2x)¹⁹⁹⁶ · (3y)⁴. Nachgerechnet (Claude), stimmt. Das Vorzeichen bleibt positiv, weil (−3y)⁴ positiv ist. Den Binomialkoeffizienten braucht auch die Kombinatorik.

Quadratische Gleichung

ax² + bx + c = 0 → x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Die Diskriminante b² − 4ac entscheidet über zwei, eine oder keine reelle Lösung. Die komplexen Lösungen im letzten Fall behandelt Komplexe Zahl.

Logarithmus

Definition: ᵃlog b = x ⇔ aˣ = b. Dabei ist a die Basis, b der Numerus und x der Logarithmus (S. 10). Beispiel: ²log 8 = 3.

Gesetze:

  • ln(u·v) = ln u + ln v, z.B. ln 12 = ln 6 + ln 2 = 2,485
  • ln(u/v) = ln u − ln v
  • ln(uᵛ) = v · ln u, z.B. ln 25 = 2 · ln 5 = 3,219
  • ln(ᵛ√u) = (1/v) · ln u
  • ᵃlog a = 1, ᵃlog 1 = 0
  • Basiswechsel: ᵃlog b = ln b / ln a, z.B. ⁴log 16 = ln 16 / ln 4 = 2. Damit rechnet man jeden Logarithmus mit der ln- oder lg-Taste aus.
  • lg x = 0,434 · ln x und ln x = 2,302 · lg x

Nicht definiert sind der Logarithmus von 0 und von negativen Zahlen sowie Logarithmen zu den Basen 1, 0 oder einer negativen Zahl. Die Quelle führt dazu Beispiele wie ⁷log 0, ³log(−27) oder ¹log 7 an. Ihre Schreibweise „³log(−27) = −27“ ist missverständlich, gemeint ist nur „nicht definiert“.

Spezielle Logarithmen: lg = Basis 10, ln = Basis e ≈ 2,718 (logarithmus naturalis). Handschriftlich ergänzt: lb = Basis 2.

Gleichungen

Typ Rezept Beispiel der Quelle (S. 9)
Logarithmusgleichung beide Seiten als Exponent der Basis nehmen 3 ln(5x) = 2 → 5x = e^(2/3) → x = 0,389
7 lg x = 20,4 → x = 10^2,914 = 820,9
Exponentialgleichung gleiche Basis herstellen oder logarithmieren 3^(2x+3) = 3^(13−3x) → x = 2
(3/4)^(5x−14) = 0,5625^(x−1) → x = 4
Wurzelgleichung Wurzel isolieren, quadrieren, Probe machen √(x+5) − 3 = 0 → x = 4
√(4x+a) + √(9x−2a) = √(25x−a) → x = 2a

Alle Beispiele nachgerechnet (Claude), sie stimmen.

Regel zu Wurzeln (S. 9): Ist eine Wurzel gegeben, gilt nur die positive Lösung. Entsteht eine Wurzel erst beim Rechnen, muss man die positive und die negative weiterverfolgen. Weil das Quadrieren Scheinlösungen erzeugen kann, braucht jede Lösung eine Probe.

Einordnung (Claude)

Beim zweiten Exponentialbeispiel geht es ohne Taschenrechner: 0,5625 = (3/4)², also 5x − 14 = 2(x − 1) und x = 4. Die Quelle logarithmiert und erhält wegen Rundung 3,99 ≈ 4.

Der Logarithmus ist in diesem Wiki an mehreren Stellen zentral: O(log n) in der Komplexitätstheorie heisst, dass sich der Aufwand bei doppelter Eingabe nur um einen Schritt erhöht (binäre Suche). log₂ gibt an, wie viele Bits man für n Werte braucht (Zahlensystem), und die Entropie in der Bildcodierung ist ein Logarithmus.

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