| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-26 |
| Tags | mathematik, kombinatorik, stochastik, abzählen |
Die Lehre vom Abzählen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Elemente anzuordnen oder auszuwählen? Unterschieden wird nach Anordnen (Permutation), Wählen (Kombination) oder beidem (Variation), jeweils mit oder ohne Wiederholung.
Einteilung
| Aufgabe | wählen | anordnen | Begriff |
|---|---|---|---|
| 7 Farbstriche nebeneinander, jede Farbe einmal | ✓ | Permutation | |
| Aus 9 Spielern ein Fünferteam | ✓ | Kombination | |
| Vierstellige Passwörter aus 0–9 | ✓ | ✓ | Variation |
Zusätzlich unterscheidet man mit oder ohne Wiederholung gleicher Elemente. Alle Fälle zusammen heissen Komplexionen (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 39).
Produktsatz: Löst man eine Aufgabe in k Schritten mit n₁, n₂ … nₖ Möglichkeiten, gibt es N = n₁ · n₂ · … · nₖ Möglichkeiten. Beispiel: die ersten drei von sieben Schwimmerinnen: 7 · 6 · 5 = 210.
Formeln
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung | |
|---|---|---|
| Permutation (n Elemente anordnen) | Pₙ = n! | Pₙ^(k₁,k₂…) = n! / (k₁! · k₂! · …) |
| Variation (k aus n, geordnet) | Vₙᵏ = n · (n−1) · … · (n−k+1) = n!/(n−k)! | Vwₙᵏ = nᵏ |
| Kombination (k aus n, ungeordnet) | Kₙᵏ = C(n, k) = n!/(k!(n−k)!) | Kwₙᵏ = C(n+k−1, k) |
Eine Permutation ist eine Variation von n Elementen zur n-ten Klasse (S. 41). Der Binomialkoeffizient C(n, k) ist dieselbe Zahl wie in Potenz, Wurzel und Logarithmus.
Beispiele aus der Quelle (S. 40–42)
Permutationen
- 4 gelbe, 3 rote, 2 blaue und 1 grüner Wagen in einer Reihe: 10!/(4!·3!·2!) = 12 600
- 11 Buchstaben mit 4, 4 und 2 gleichen (MISSISSIPPI): 11!/(4!·4!·2!) = 34 650
- Siebenstellige Zahlen aus 1–7, jede Ziffer einmal: 7! = 5040
- Sechsstellige Zahlen aus 0–5 ohne führende Null: 6! − 5! = 600
- Drei Viererteams in einer Reihe, jedes Team beisammen: 3! · (4!)³ = 82 944
Variationen
- Vierstellige Passwörter aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern ohne Wiederholung: 36 · 35 · 34 · 33 = 1 413 720
- dasselbe fünfstellig mit Wiederholung: 36⁵ = 60 466 176
- davon mit mindestens einem c: 36⁵ − 35⁵ = 7 944 301 (Gegenereignis)
- Nummernschloss mit drei Ringen: 10³ = 1000
- MS-DOS-Dateinamen (1–8 Zeichen, Endung 0–3 Zeichen aus 36): (36 + 36² + … + 36⁸)(1 + 36 + 36² + 36³) ≈ 1,39 · 10¹⁷
Kombinationen
- Fussballteam, 11 aus 16: C(16, 11) = 4368
- Anstossen bei 10 Personen: C(10, 2) = 45
- 15 Bücher auf drei Gestelle (5, 3, Rest): C(15, 5) · C(10, 3) = 360 360
- 7 gleiche Würfel: C(12, 7) = 792 Würfe, mit unterscheidbaren Würfeln 6⁷ = 279 936
- 80 Rappen Porto aus 20er-Marken in 3 Sorten: C(6, 4) = 15
Alle Beispiele nachgerechnet (Claude), sie stimmen ausnahmslos.
Die Kombinatorik erklärt mehrere Zahlen in diesem Wiki:
- Schlüsselraum: Ein Passwort aus 36 Zeichen und Länge 8 hat 36⁸ ≈ 2,8 · 10¹² Möglichkeiten. Mit Gross-/Kleinbuchstaben und Sonderzeichen (rund 94 Zeichen) sind es schon 6 · 10¹⁵. Die Länge wirkt als Exponent, deshalb helfen lange Passwörter mehr als exotische Zeichen (Zugriffskontrolle, Verschlüsselung).
- Kombinatorische Explosion: Die „81 Kombinationen“ beim Marketing-Mix sind 3⁴, also eine Variation mit Wiederholung. Die Zahl möglicher Reihenfolgen von n Aufträgen ist n!, deshalb ist Ablaufplanung schwer (Komplexitätstheorie, Heuristiken in BWL und Informatik).
- Die MS-DOS-Aufgabe mit ihrer 8.3-Regel für Dateinamen ist ein schönes Zeitdokument von 1997.
Verwandt
- Wahrscheinlichkeitsrechnung – günstige und mögliche Fälle werden kombinatorisch gezählt
- Potenz, Wurzel und Logarithmus – Binomialkoeffizient und binomischer Lehrsatz
- Komplexitätstheorie – n! und 2ⁿ als exponentielles Wachstum
- Zugriffskontrolle – Passwortstärke als Anzahl Möglichkeiten
- Marketing-Mix – Anzahl Kombinationen von Instrumenten
- HP 48G – COMB, PERM und ! im Menü PROB