| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-26 |
| Tags | mathematik, stochastik, wahrscheinlichkeit |
Die Mathematik des Zufalls. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1. Bei gleich wahrscheinlichen Fällen ist sie günstige durch mögliche Fälle. Für „oder“, „und“ und „unter der Bedingung, dass“ gibt es den Additionssatz, den Multiplikationssatz und die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Grundbegriffe
Die Wahrscheinlichkeit p(E) eines Ereignisses ist die relative Häufigkeit nach sehr vielen Versuchen (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 43):
- sicheres Ereignis: p = 1, unmögliches Ereignis: p = 0
- Gegenwahrscheinlichkeit: p̄ = 1 − p
S. 43 gibt den Definitionsbereich mit „0 ≤ p < 1“ an. Richtig ist 0 ≤ p ≤ 1. Das sichere Ereignis hat genau p = 1, wie die Quelle eine Zeile darüber selbst sagt.
Laplace-Wahrscheinlichkeit: Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, gilt p(E) = günstige / mögliche Fälle = g/m. Die Fälle zählt man mit der Kombinatorik.
Beispiel: Urne mit 8 weissen, 8 schwarzen und 4 braunen Kugeln: p(weiss) = 8/20 = 0,4, p(weiss oder braun) = 12/20 = 0,6, p(keine braune) = 16/20 = 0,8.
Regeln
| Verknüpfung | Formel | Bedingung |
|---|---|---|
| oder, allgemein | p(A ∨ B) = p(A) + p(B) − p(A ∧ B) | die Schnittmenge sonst doppelt gezählt |
| oder, unvereinbar | p(A ∨ B) = p(A) + p(B) | A und B schliessen sich aus |
| bedingt | p(A | B) = p(A ∧ B) / p(B) | Wahrscheinlichkeit von A, wenn B eingetreten ist |
| und, allgemein | p(A ∧ B) = p(A | B) · p(B) = p(B | A) · p(A) | abhängige Ereignisse |
| und, unabhängig | p(A ∧ B) = p(A) · p(B) | A hängt nicht von B ab |
S. 46 notiert die „und“-Verknüpfung für unabhängige Ereignisse als „p(A|B) = p(A) · p(B)“. Gemeint ist p(A ∧ B) = p(A) · p(B). Bei Unabhängigkeit gilt p(A|B) = p(A), die Bedingung ändert also nichts.
Beispiele aus der Quelle (S. 43–47)
Zwei Würfel (36 gleich wahrscheinliche Paare):
- Summe 6 oder beide ungerade: 5/36 + 9/36 − 3/36 = 0,31 (Schnittmenge 15, 51, 33)
- Summe 5 oder beide gerade: 4/36 + 9/36 = 0,36 (unvereinbar)
- Summe grösser 5: 1 − 4/36 − 6/36 = 0,72
- roter Würfel 4 und blauer 1 oder 6: 1/6 · 2/6 = 0,056
Münzen: drei Münzen alle Kopf: 1/8. Mindestens einmal Kopf: 1 − 1/8 = 0,875. Vier Würfe ohne Kopf: 1/16.
Ziehen ohne Zurücklegen (8 schwarze, 4 weisse Kugeln):
- erst schwarz, dann weiss: 8/12 · 4/11 = 0,24
- beide schwarz: 8/12 · 7/11 = 0,42
- verschiedenfarbig: 2 · 0,24 = 0,48
- die zweite ist schwarz: 4/12 · 8/11 + 8/12 · 7/11 = 0,67, also gleich wie die erste
Bedingte Wahrscheinlichkeit als Information: Wie stark ändert eine Zusatzinformation die Wahrscheinlichkeit?
- Zahl bis 1000 durch 5 teilbar, wenn man weiss, dass sie gerade ist: p(A|B) = 0,1/0,5 = 0,2, gleich wie ohne Information. Die Ereignisse sind unabhängig.
- Kugel 1–12 ist eine Primzahl, wenn man weiss, dass sie ungerade ist: p(A|B) = 4/6 = 0,67 statt p(A) = 5/12 = 0,42. Der Informationsgewinn beträgt Δp = 0,25.
- Jasskarte ist Herz, wenn man weiss, dass sie eine Dame ist: 1/4 = 9/36, Δp = 0
Beim Primzahl-Beispiel (S. 46) steht „Δp = 0,67 − 0,42 = 0,22“. Richtig ist 0,25.
Alle übrigen Beispiele nachgerechnet (Claude), sie stimmen.
Löst man die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit zweimal auf, erhält man den Satz von Bayes: p(A|B) = p(B|A) · p(A) / p(B). Er steckt hinter dem Bayes-Klassifikator der Mustererkennung. Die Risikoanalyse verwendet Wahrscheinlichkeiten als Eintrittshäufigkeit mal Schadenshöhe. Das Beispiel „die zweite Kugel ist schwarz“ zeigt übrigens eine oft verblüffende Symmetrie: Ohne Wissen über die erste Kugel ist die zweite genauso wahrscheinlich schwarz wie die erste.
Verwandt
- Kombinatorik – zählt günstige und mögliche Fälle
- Boolesche Algebra – ∧, ∨ und Verneinung wie bei Ereignissen, gleiche Venn-Diagramme
- Mustererkennung – Bayes-Klassifikation
- Risikoanalyse – Eintrittswahrscheinlichkeit von Bedrohungen
- Marktforschung – Stichproben, Zufallsauswahl und Repräsentanz