| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-26 |
| Tags | mathematik, informatik, zahlendarstellung |
Ein Stellenwertsystem stellt jede Zahl als Summe von Ziffern mal Potenzen einer Basis dar. In der Informatik sind neben dem Dezimalsystem vor allem das Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem wichtig, dazu das Einer- und Zweierkomplement für negative Zahlen.
Stellenwert
Jede Ziffer wird mit einer Potenz der Basis multipliziert. Stellen nach dem Komma erhalten negative Exponenten (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 1):
| System | Basis | Ziffern | Beispiel |
|---|---|---|---|
| dual (b) | 2 | 0, 1 | 101,101 b = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,625 d |
| oktal (o) | 8 | 0–7 | 76,32 o = 7·8 + 6 + 3/8 + 2/64 = 62,40625 d |
| dezimal (d) | 10 | 0–9 | 4287,123 = 4·10³ + 2·10² + … + 3·10⁻³ |
| hexadezimal (h) | 16 | 0–9, A = 10 … F = 15 | A3EF h = 10·16³ + 3·16² + 14·16 + 15 = 41 967 d |
Eine Hex-Ziffer entspricht genau vier Dualstellen: ABC7 h = 1010 1011 1100 0111 b. Deshalb schreibt man Binärdaten gern hexadezimal.
Umrechnen
Dezimal → Dual (gleiches Verfahren für Basis 8 und 16):
- Ganzzahliger Teil: fortlaufend durch 2 teilen, die Reste von unten nach oben lesen. 13 → Reste 1, 0, 1, 1 → 1101
- Nachkommateil: fortlaufend mit 2 multiplizieren, die Ganzzahlteile von oben nach unten lesen. 0,625 → 1,25 → 0,5 → 1,0 → ,101
- Also 13,625 d = 1101,101 b
Rechnen im Dualsystem
- Addition: wie schriftlich im Dezimalsystem, die Überträge werden notiert. 11101 + 11011 + 11011 + 11111 = 1110010 b (29 + 27 + 27 + 31 = 114)
- Subtraktion: mit „Borgen“. 11111 − 00111 − 00011 − 00011 − 00011 = 01111 b (31 − 7 − 3 − 3 − 3 = 15)
- Einerkomplement: alle Bits umkehren (not Zahl)
- Zweierkomplement: Einerkomplement + 1. So stellen Computer negative Zahlen dar, und die Subtraktion wird zur Addition.
Beide Rechnungen nachgerechnet (Claude), sie stimmen.
Das Zweierkomplement hat einen praktischen Vorteil: Es gibt nur eine Null, und derselbe Addierer rechnet für positive und negative Zahlen. Mit n Bits lassen sich −2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹ − 1 darstellen, bei 8 Bit also −128 bis 127. Die Umrechnung „wiederholt durch die Basis teilen“ ist genau das Verfahren, das jeder Computer bei der Ausgabe einer Zahl anwendet.
Verwandt
- Boolesche Algebra – die Logik, mit der Dualzahlen in Schaltungen verarbeitet werden
- Potenz, Wurzel und Logarithmus – Stellenwerte sind Potenzen; log₂ n = Anzahl nötiger Bits
- Hashfunktion – Hashwerte werden üblicherweise hexadezimal geschrieben
- Bildcodierung – Bits und Codes für Bilddaten
- HP 48G – Menü BASE für Umrechnungen