| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-26 |
| Tags | mathematik, analysis, funktion |
Eine Zuordnung, die jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y aus dem Wertebereich zuweist. Die wichtigsten Grundtypen sind die Gerade und die Parabel. Dazu kommen die Umkehrfunktion und das Verhalten an Definitionslücken und im Unendlichen (Grenzwerte).
Definition
f: D(f) → W(f), x ↦ y = f(x). Jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich wird eine Zahl y aus dem Wertebereich zugeordnet (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 11).
Koordinaten:
- kartesisch: x-Achse (Abszisse), y-Achse (Ordinate), vier Quadranten gegen den Uhrzeigersinn
- polar: Punkt als Radius r und Winkel φ, z.B. P(5; 45°). Siehe auch Komplexe Zahl.
Gerade (lineare Funktion)
y = a·x + b, dabei ist a die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Die Nullstelle liegt bei x = −b/a.
Steigung durch zwei Punkte: a = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
Beispiel (S. 11): P₁(−3; 7), P₂(2; −3) → a = −10/5 = −2. Aus −3 = −2·2 + b folgt b = 1, also y = −2x + 1.
Die Rechnung ist richtig, das doppelt unterstrichene Ergebnis lautet aber „y = 2·x + 1“. Das Minuszeichen fehlt. Probe: P₁ erfüllt −2·(−3) + 1 = 7, aber nicht 2·(−3) + 1 = −5.
Handschriftliche Beispiele (S. 12): parallele Gerade (gleiche Steigung), rechtwinklige Gerade (Steigung a₂ = −1/a₁), Schnittpunkte, Abstand eines Punkts von einer Geraden über das Lot und Pythagoras.
Umkehrfunktion
Vertauscht man x und y und löst nach y auf, erhält man die Umkehrfunktion: Aus y = ax + b wird y = (x − b)/a. Grafisch ist sie das Spiegelbild an der Winkelhalbierenden y = x (S. 12). Damit sie existiert, muss die Funktion eindeutig umkehrbar sein. Sonst schränkt man den Bereich ein, wie bei den trigonometrischen Funktionen (Trigonometrie).
Parabel (quadratische Funktion)
y = ax² + bx + c lässt sich durch Verschieben des Ursprungs in den Scheitel S(p; q) als y = a(x − p)² + q schreiben:
S(p; q) = (−b/2a ; c − b²/4a)
Schnittpunkte zweier Funktionen erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen (siehe Gleichungssystem).
Grenzwerte bei Funktionen
Man untersucht das Verhalten gegen ±∞ und an Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist (S. 21–22):
- y = 1/x: gegen ±∞ strebt y gegen 0. Bei x → 0⁺ geht y gegen +∞, bei x → 0⁻ gegen −∞.
- y = 2x/(x + 3): gegen ±∞ strebt y gegen 2 (waagrechte Asymptote), bei x → −3⁺ gegen −∞, bei x → −3⁻ gegen +∞ (senkrechte Asymptote)
Grenzwert im Unendlichen: Eine Funktion hat den Grenzwert g, wenn sich die Funktionswerte für hinreichend grosse bzw. kleine x beliebig wenig von g unterscheiden, |f(x) − g| < ε. Zu jedem noch so schmalen Streifen g ± ε gibt es ein x_ε, ab dem alle Punkte im Streifen liegen. Das ist dieselbe Idee wie bei Folgen.
In den BWL-Quellen stecken viele solche Funktionen: Die Preis-Absatz-Funktion p = a − bx ist eine Gerade, der Erlös E = x(a − bx) eine nach unten offene Parabel. Deren Scheitel liegt bei x = a/2b, dort ist der Umsatz maximal, und die Preiselastizität ist dort −1 (siehe Preispolitik).
Verwandt
- Differentialrechnung – Steigung einer beliebigen Funktion, Kurvendiskussion
- Folge und Reihe – Grenzwerte, gleiche ε-Idee
- Trigonometrie – Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
- Gleichungssystem – Schnittpunkte durch Gleichsetzen
- Preispolitik – Preis-Absatz-Funktion als Gerade, Erlös als Parabel
- HP 48G – Funktionen zeichnen mit PLOT