| Typ | Konzept |
|---|---|
| Quellen | Quelle - Mathematik Zusammenfassung Quelle - Neuronale Netze selbst programmieren |
| Erstellt | 2026-09-26 |
| Aktualisiert | 2026-09-27 |
| Tags | mathematik, analysis, ableitung, optimierung |
Bestimmt zu einer Funktion ihre Steigungsfunktion, die erste Ableitung, als Grenzwert des Differenzenquotienten. Mit Ableitungsregeln lassen sich beliebige Funktionen ableiten. Angewendet wird das in der Kurvendiskussion und bei Extremwertaufgaben, also überall, wo etwas minimal oder maximal werden soll.
Grundidee
Das Steigungsdreieck zwischen P(x, f(x)) und einem Hilfspunkt P₁(x + Δx, f(x + Δx)) ergibt den Differenzenquotienten Δy/Δx = (f(x + Δx) − f(x)) / Δx, also die Steigung der Sekante. Lässt man P₁ gegen P wandern, wird daraus die Steigung der Tangente (Quelle - Mathematik Zusammenfassung, S. 27):
y′ = f′(x) = dy/dx = lim (Δx → 0) (f(x + Δx) − f(x)) / Δx
Die erste Ableitung ist diese Tangentensteigung als Funktion für jeden Punkt.
Ableitungsregeln
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Konstantenregel | a · xⁿ bzw. c | a · n · xⁿ⁻¹ bzw. 0 |
| Summenregel | f₁ ± f₂ | f₁′ ± f₂′ |
| Produktregel | u · v | u′v + uv′ |
| Quotientenregel | u / v | (u′v − uv′) / v² |
| Kettenregel | f(φ(x)) | f′(z) · φ′(x) mit z = φ(x) |
Die Potenzregel gilt auch für Wurzeln und Brüche: ⁷√x⁵ = x^(5/7) → y′ = 5/(7 · ⁷√x²), und 1/x¹⁰ = x⁻¹⁰ → y′ = −10/x¹¹.
Kettenregel in 5 Schritten (S. 29): innere Funktion z angeben, nach x ableiten, äussere Funktion mit z angeben, nach z ableiten, beide Ableitungen multiplizieren und z einsetzen. Beispiel: y = (0,5x + 2)³ → y′ = 3z² · 0,5 = 1,5 (0,5x + 2)².
Transzendente Funktionen:
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| ᵃlog x | 1 / (x · ln a) |
| ln x | 1/x |
| aˣ | aˣ · ln a |
| eˣ | eˣ (die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, bis auf einen Faktor) |
| sin x, cos x | cos x, −sin x |
| tan x, cot x | 1/cos²x, −1/sin²x |
| arcsin x, arccos x | ±1/√(1 − x²) |
| arctan x, arccot x | ±1/(1 + x²) |
Eine vollständigere Tabelle ist aus einem Lehrbuch eingescannt (PDF-S. 27), z.B. (xˣ)′ = xˣ(1 + ln x).
Beispiele (S. 28–30): (x³/(0,5x + 2))′ = (x³ + 6x²)/(0,5x + 2)², (x²eˣ)′ = xeˣ(2 + x), (x³ cos x)′ = x²(3 cos x − x sin x). Nachgerechnet, sie stimmen.
S. 28: Die Summenregel steht als „f₁ ± f₁“ statt f₁ ± f₂. Im Quotientenbeispiel heisst ein Zwischenschritt „1,5x² + 6x² − 0,5x³“, richtig ist 1,5x³. Das Endergebnis stimmt.
Höhere Ableitungen: n-maliges Ableiten. y = 2x⁵ + 3x³ + 6 ist nach der 6. Ableitung null.
Kurvendiskussion
Ziel ist, besondere Punkte zu finden, um die ganze Funktion zu erkennen. Vorgehen (S. 31):
- Nullstellen: y = 0
- Unendlichkeitsstellen (Pole): bei gebrochenen Funktionen P(x)/Q(x) die Nullstellen von Q
- Lücken: P(x) = 0 und Q(x) = 0 an derselben Stelle
- Schnitt mit der y-Achse: x = 0
- Verhalten im Unendlichen: Grenzwerte für x → ±∞
- Extremwerte: y′ = 0. Ist y″ > 0, liegt ein Minimum vor, bei y″ < 0 ein Maximum, bei y″ = 0 prüft man höhere Ableitungen.
- Wende- und Terrassenpunkte: y″ = 0, entschieden mit y′ und y‴. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
Beispiel (S. 32): y = 2x²/(1 + x²): Nullstelle und Minimum bei (0|0), keine Pole (1 + x² = 0 hat nur imaginäre Lösungen), waagrechte Asymptote y = 2, Wendepunkte bei x = ±√(1/3) ≈ ±0,577 mit y = 0,5. Nachgerechnet, stimmt.
Extremwertaufgaben
Ablauf (S. 32):
- Variablen bezeichnen
- Hauptbedingung: die Grösse, die minimal oder maximal werden soll
- Nebenbedingung(en)
- Eine Funktionsgleichung mit nur einer Unbekannten aufstellen
- Ableiten und null setzen
- Minimum oder Maximum prüfen
- Resultat angeben
Beispiel Getränkedose: 0,33 l Inhalt, minimaler Blechverbrauch.
- Hauptbedingung: Oberfläche A = 2πr² + 2πrh
- Nebenbedingung: V = πr²h = 0,33 dm³
- eingesetzt: A(r) = 2πr² + 0,66/r
- A′ = 4πr − 0,66/r² = 0 → r = ∛(0,66/4π) = 0,37 dm, h = 0,77 dm, A″ > 0 → Minimum
Ohne Zwischenrundung ergibt sich h = 0,75 dm, und zwar exakt h = 2r: Die blechsparendste Dose ist so hoch wie breit. Die 0,77 der Quelle kommen daher, dass mit dem gerundeten r = 0,37 weitergerechnet wurde. Echte Dosen sind schlanker, weil Deckel und Boden dickeres Blech brauchen und die Dose gut in der Hand liegen soll.
Anwendungen in der BWL
Die Grenzbetrachtungen der BWL sind Ableitungen:
- Cournot-Punkt: Der Gewinn G(x) = E(x) − K(x) ist maximal, wo G′(x) = 0, also Grenzerlös = Grenzkosten (Preispolitik).
- Optimale Losgrösse: Die Kosten pro Periode sind K(x) = K_f · M/x (Rüstkosten, weniger bei grossen Losen) + k · x/2 (Lagerkosten, mehr bei grossen Losen). Aus K′(x) = −K_f M/x² + k/2 = 0 folgt genau x_opt = √(2 K_f M / k), die Formel aus Produktionsplanung und -steuerung.
- Preiselastizität ist eine relative Ableitung: η = (dx/x) / (dp/p).
Anwendung: neuronale Netze
Neuronale Netze lernen mit genau diesen Werkzeugen. Die Fehlerfunktion hängt über viele verschachtelte Funktionen von den Gewichten ab. Die Kettenregel zerlegt ihre Ableitung „wie Zwiebelringe“ in einfache Teile: Fehler, Ableitung der Sigmoidfunktion und Eingangssignal. Das Gradientenverfahren geht dann Schritt für Schritt entgegen der Steigung (Quelle - Neuronale Netze selbst programmieren, S. 94–100 und Anhang). Das Buch leitet im Anhang die Ableitung wie hier über den Differenzenquotienten her: Die Sekante durch t ± Δt wird mit kleiner werdendem Δt zur Tangente. Siehe Backpropagation.
Verwandt
- Funktion – die Funktionen, die abgeleitet werden
- Folge und Reihe – der Grenzwertbegriff
- Integralrechnung – die Umkehrung des Ableitens
- Trigonometrie – Ableitungen der Winkelfunktionen
- Preispolitik – Grenzerlös, Grenzkosten, Elastizität
- Produktionsplanung und -steuerung – Losgrössenformel als Extremwertaufgabe
- Heuristiken in BWL und Informatik – wann exakt optimieren, wann nicht
- Backpropagation – Kettenregel als Kern des Trainings neuronaler Netze
- Gradientenverfahren – Minimum suchen, wenn man die Nullstelle der Ableitung nicht ausrechnen kann
- Kinematik – Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen des Weges